UFABC
PROJETO DE PESQUISA
JEREMY BENTHAM E O CÁLCULO FELICÍFICO:
mODELAGEM MATEMÁTICA De operações com CRITÉRIOS DE JULGAMENTO MORAL
Dr. Ronei Miotto
Dr. Luis Alberto Peluso
(UFABC)
INTRODUÇÃO
"Nature has placed mankind under the governance of two sovereign masters pain and pleasure. It is for then alone to point out that we ought to do, as well as to determine what we shall do. On the one hand the standard of right and wrong, on the other the chain of causes and effects, are fastened to their throne...".(Bentham, J.; "Principles of Morals and Legislation", London, J.H. Burns & H.A. Hart, 1970, p.1)
Em trabalho anteriormente publicado (PELUSO, 1991, pp.27-47) foi desenvolvida uma primeira aproximação aos termos sugeridos por Bentham em sua obra "An Introduction to the Principles of Morals and Legislation" (BENTHAM, 1970) objetivando instrumentalizar a identificação de critérios para a realização de julgamentos morais e de algumas regras de construção do Cálculo Aritmético Moral[1]. O estudo das sugestões de Bentham revelaram que a aplicação de sua teoria carecia, entretanto, de dois instrumentos. Fazia-se necessária a construção de uma teoria da experiência sensível que, fundamentando-se em uma descrição fisiológica, permitisse distinguir diferentes padrões para mensuração de prazeres e de dores. Urgia, ainda, a elaboração de uma modelagem matemática que permitisse apontar as operações necessárias à contabilidade de diferenças quantitativas e qualitativas entre os diversos prazeres e dores resultantes das ações dos agentes morais. Neste texto pretende-se investigar a possibilidade de construir um modelo matemático que evidencie as operações do cálculo dos diferentes graus de prazeres e dores resultantes das condutas adotadas pelos agentes face aos diferentes cursos de ação, sem deixar de considerar as variáveis que eventualmente sejam intervenientes quando se tratar da construção de regras de ação apontando as ações moralmente preferíveis nas diversas situações.
No sentido de atender à necessidade de uma teoria fisiológica do prazer e da dor, este texto sugere a adoção de uma unidade padrão para medição da variação do valor do prazer e da dor resultante de uma ação. Essa unidade seria o 'benth"[2]. Com o objetivo de instrumentalizar o cálculo moral conforme se trate de operar com situações simples ou complexas, o texto examina três tipos possíveis de modelagem. A saber, o modelo Booleano, o modelo estático de cálculo e o modelo dinâmico de cálculo matemático.
Os dados reunidos até o momento permitem concluir que, embora a produção dessa ferramenta não resolva defintivamente o problema do cálculo felicífico, contudo, conforme prenunciado por Bentham, grandes avanços têm sido feitos na direção de criar os meios necessários para aprimorar o cálculo dos prazeres e das dores. Ademais é certo que, nem mesmo Bentham acreditava que as investigações sobre o cálculo moral seriam um dia concluídas pela descoberta de uma teoria capaz de dar conta de todas as dificuldades que esse tipo de cálculo envolve. Não se dispõe de garantia que o ser humano dará conta de construir uma teoria perfeita do cálculo moral, da mesma forma como não existem garantias que, encontrada a fórmula do cálculo da felicidade, o seres humanos haverão de ser tornar necessariamente agentes do ‘bem’. É por essa razão que aqui se sugere que Bentham interpretava o idéia da construção de um cálculo felicífico como algo que pertence ao mundo das 'agendas' humanas. Enquanto 'agenda', a busca da fórmula da felicidade e a busca do prazer e a fuga da dor, jamais seriam realizadas completamente e de uma forma definitiva pelo agente moral. Nesse sentido, enquanto um agente moral, o ser humano se propõe a buscar o 'bem', sem saber definitivamente em que é que ele consiste, e ao mesmo tempo, sem poder se esquivar dessa busca incessante. Mesmo que não se tenha confiança na possibilidade de encontrar uma resposta conclusiva, a questão da elaboração da modelagem matemática para decisões morais se constitui num instrumento factível conforme os termos em que o utilitarismo clássico de Bentham propõe sejam tratados os critérios para tomar decisões morais.
A modelagem matemática está associada ao esforço que o ser humano faz no sentido de descrever e demonstar as suas teorias. A linguagem matemática corresponde a um conjunto de signos com os quais se pretende expressar relações de uma forma objetiva e universal. Assim, os modelos matemáticos são representações através de uma linguagem formal de caráter universal de uma realidade particular na forma como ela se apresenta a um sujeito determinado que a conhece.
Newton teria criado um modelo que dava conta de explicar o funcionamento de toda a mecânica dos grandes corpos, das maçãs que caem das árvores até o movimento dos planetas. A utilização de ferramentas matemáticas por Newton, e, principalmente o seu grande sucesso na descrição objetiva dos fenômenos físicos, incentivou o uso dos métodos de construção de modelos matemáticos. Esse incentivo impulsionou tentativas que abarcaram os mais diversos campos do saber, desde a biologia até a teologia. A Ética não teria escapado dessa tentação. Entretanto, o que aqui se propõe é transcrever o argumento de Bentham, escrito em linguagem natural, com o objetivo de revelar alguns de seus caracteres constitutivos, no sentido de evidenciar suas possíveis limitações. As motivações que conduzem à busca das vantagens da modelagem dos argumentos em linguagens formais, são neste texto, confessadamente, uma recusa do realismo exagerado daqueles que entendem que através da modelagem matemática se revela a essência do mundo, posto que o mundo está escrito em linguagem formal. Assim, as necessidades e as evidências formais se impõem sobre a realidade, de tal forma que, aquilo que fosse formalmente necessário seria imperativo para o real. O que tudo isso significa é que neste texto se pretende fazer valer uma interpretação instrumentalista do conhecimento humano e da formalização dos argumentos. Teorias são invenções humanas e, como tais, são instrumentos tentativos para atribuir um significado ao mundo. A formalização tem a finalidade de permitir que outros aspectos do argumento sejam revelados na medida em que o argumento recebe nova expressão através de novas linguagens formais. Nesse sentido, com a formalização do argumento moral proposto para justificar o cálculo realizado na Aritmética Moral não se pretende descrever a realidade dos atos morais, mas, sim construir teorias sobre a moralidade das ações que nos permitam atribuir um significado justificado em termos de bondade e maldade às ações humanas.
O sucesso de tentativas realizadas em diferentes setores da Ciência no sentido de realizar modelos quantificadores de seus objetos de estudo não parece conter qualquer fator restritivo a que o mesmo seja feito em relação às percepções de prazer e de dor que homens e mulheres são capazes de sentir.
São conhecidos os episódios de sucesso da Ciência na quantificação da percepção de certos sentidos humanos que seriam considerados subjetivos e não quantificáveis numa primeira aproximação. A quantificação da percepção humana do som, por exemplo, só foi possível devido ao avanço da Física no conhecimento da natureza do som e do progresso da Medicina no conhecimento da fisiologia do ouvido humano.
Conforme é hoje sabido, o som apresenta as mesmas características gerais das outras ondas (intensidade, frequência etc). As ondas sonoras são compressões e rarefações longitudinais do meio através do qual se propagam. Elas são produzidas pela vibração de objetos. O ouvido humano é um detetor bastante sensível. Seu limiar de percepção corresponde a uma intensidade de 10-12 watts por metro quadrado(0,000000000001 Wm^2) que é a medida da energia que chega até ele, conhecida como intensidade limiar. O som de maior intensidade que o ouvido humano consegue suportar é de 1 Wm^2 . Por abranger uma faixa tão grande, a capacidade auditiva humana pode ser representada numa escala logarítmica de base 10. Sua unidade original é o bel, termo derivado do nome do inventor do telefone, o escocês Graham Bell (1847-1922). Mesmo graduado com base na escala logarítmica, o bel, por ser uma unidade muito ampla, é usualmente substituído pelo decibel(db); assim, 1 bel = 10 db.
A faixa de frequência que o ouvido humano é capaz de ouvir nos adolescentes situa-se entre 20 e 20.000 Herts (unidade de freqüência) e nos adultos próximos dos 40 anos cai para 20 a 14.000 hz. Sons abaixo da faixa de audição humana são conhecidos como infra-sônicos e acima como ultra-sônicos. O aparelho chamado decibelímetro é capaz de medir quantos decibéis tem determinado som.
O que se pretende argumentar aqui é que, os estudos sobre a audição dos seres humanos podem resultar em um conjunto de dados que permitem modelagem quantificadora. Da mesma forma não existem impedimentos que 'prima facie' revelem a impossibilidade de tratamento similar ser dado às sensações que revelam o prazer e a dor. O percepção sensorial é produzida por estímulos que produzem prazer ou dor. Estes estímulos nada mais são do que sinais bioelétricos transmitidos dos sensores periféricos específicos à região específica de nosso cérebro. Drogas produzidas artificialmente, fora do organismo que reage, podem criar os estímulos que provocam a percepção do prazer e da dor. A realidade virtual pode criar de forma fictícia, isto é, simular situações que funcionam como estímulos externos capazes de provocar o aparecimento no ser humano das substâncias capazes de provocar a percepção do prazer ou da dor. A eletrônica e microeletrônica vão além e são capazes de simular os próprios sinais bioelétricos enviados ao cérebro, provocando imediatamente a percepção de sensações de prazer e de dor. Contudo, existem sensações de prazer e de dor que podem dar-se diretamente nos centros cerebrais sem a intermediação de processos bioelétricos ou sensitivos.
A análise do mecanismo neural das emoções estabelece uma estreita relação entre o processo e o resultado. Raul Marino Jr. afirma que: "A emoção e a motivação encontram-se estreitamente relacionadas. Assim, se definirmos motivação por um processo neural que impele o organismo a alguma ação ou objetivo, cuja consecução resulta numa redução do impulso inicial, a emoção seria o ponto final de um comportamento motivado, seja ele atingido ou frustrado".(MARINO,1975, p.05)
I. Modelo booleano do cálculo da felicidade
"The unit of intesity is the faintest sensation that can be distinguished to be pleasure or pain; the unit of duration is a moment of time. Degrees of intensity and duration are to be counted in whole numbers, as multiples of these units. Certainty and propinquity are reckoned as fractions whose limit is immediate actual sensation; from this limit the fractions fall aways. In applying these calculus, one beggins with the first distinguishable pleasure or pain which appears, to be produced by an act, multiplies the number of its intesity units by the number of duration units and them multiplies this product by the two fraction expressing certainty and proximity. To bring in fecundity one computes by the preceding method the value of each pleasure or each pain which appears to be produced after the first one; the resulting values are to be added to the value previously obtained to bring in purity one computes the values of all pains that attend a given series of pleasures, or of pleasures that attend a given series of pains. These values are to be subtracted from the preceding sums. That is, pleasure is a positive, pain a negative quantity. Since the unit of extent is an individual, one completes the computation by multiplying the net resultant pain or pleasure ascertained as above by the number of affected. Usually however this last step is more complicated: not all the people affected are affected in the same way. In that case one does not multiply by the number of individuals, but makes a separate computation for each individual and then strikes the algebric sum of the resultants".(Mitchell, Wesley C.; "Bentham's Felicific Calculus", in Parekh, Bhiku (ed.); "Jeremy Bentham's Ten Critical Essays", London, Fraank Cass, 1974, pp.170/171)
O modelo mais simples que pode ser empregado na modelagem do cálculo de decisões baseadas no princípio de utilidade recorre às noções da álgebra booleana criada por George Boole (1815-1864). Essa álgebra apenas registra a presença de dois valores, 0 ou 1, certo ou errado, aberto ou fechado, tem ou não tem, muito ou pouco. Embora a álgebra booleana permita uma modelagem simples da quantificação do sofrimento e da felicidade, posto que somente registra dois valores para a presença ou ausência, grande quantidade ou pequena quantidade etc, contudo, ela nos permite expressar quantitativamente o valor de variáveis relevantes para a tomada de decisão em situações onde estão implicados o prazer e a dor.
Na álgebra de Boole as três operações básicas AND (e), OR (ou) e NOT (não) são representadas respectivamente pelos sinais *, + e ~. A tabela abaixo apresenta exemplos de possíveis resultados da Conjunção de Operações Lógicas (também chamada “Tabela da Verdade”). Na discussão a seguir, restringiremos nossa análise a apenas duas dessas operações, AND e OR, tendo em vista que a operação NOT apenas nega a proposição que tem como argumento.
OR | NOT | ||||||||
A | B | A*B | A | B | A+B | A | ~A | ||
0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | ||
0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | ||
1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | ||||
Tabela 1: Exemplos de possíveis resultados da Conjunção de Operações Lógicas (também chamada “Tabela da Verdade”).
Seja P a expressão de prazer e D a de sofrimento. Quando P=1 a felicidade é muita, enquanto que para P=0 a felicidade é pouca. Da mesma forma, D=1 e D=0 significam muita e pouca dor, respectivamente. Para determinar se uma dada conduta será ou não praticada, adotamos o princípio da utilidade (PU). Se PU=0, o princípio da utilidade desaprova uma dada conduta, ou seja, a decisão de praticar tal conduta não é moralmente desejável, ou não há justificação moral para a conduta que põe em curso a situação referida. Por outro lado, se PU=1 o princípio da utilidade aprova tal conduta. Se a situação é tal que PU>0, então a conduta que resulta nesse situação é moralmente desejável, ou seja, a decisão de praticar a conduta que resulta nessa situação é justificável. Nesse contexto, o modelo de Boole para o princípio de utilidade pode ser expresso como:
D | PU | |
0 | 0 | X |
0 | 1 | 0 |
1 | 0 | 1 |
1 | 1 | X |
Tabela 2: O modelo de Boole para princípio da utilidade. A variável X indica uma situação onde o modelo de Boole não pode dizer se o princípio da utilidade é 1 ou 0, ou seja, se aprova ou desaprova aquela ação.
Isso tudo significa que, em situações onde a dor e prazer tem a mesma intensidade[peluso1] , esse modelo não é capaz de indicar se aquela ação será aprovada ou desaprovada, situação indicada por um X na Tabela 2. Contudo, a partir da Tabela 2, é possível definir dois tipos de situação:
i. se o prazer é pouco (P=0) e a dor é muita (D=1), o princípio da utilidade desaprova aquela ação (PU=0);
ii. se o prazer é muito (P=1) e a dor é pouca (D=0), o princípio da utilidade aprova a ação (PU=1).
Matematicamente, as situações (i) e (ii) poderiam ser representadas como PU=P\bar{D} e PU=\bar{P}D, respectivamente, onde o símbolo barra indica ser pouco a dor ou o prazer relacionado a uma determinada atitude. Quando prazer e dor forem ambos, simultaneamente, muito ou pouco, este modelo não tem conteúdo informativo sobre a valoração do princípio. Isto quer dizer que o modelo booleano só apresenta alguma informação relevante, isto é, ele define se o princípio da utilidade aprova ou não uma dada ação, se P≠D, ou seja, se prazer e dor tem valorações diferentes. Esse fato sugere a necessidade de uma abordagem alternativa para determinar se uma ação é ou não aprovada.
Benthan sugere que o cálculo moral se desenvolve a partir da identificação do valor de sete variáveis.
Símbolo | se 0 | se 1 | |
Intensidade | I | Pouca | muita |
duração | Du | Breve | longa |
certeza | C | Improvável | provável |
longinquidade | L | Longe | perto |
pureza | P | impuro | puro |
fecundidade | F | fecunda | Infecunda |
Como são seis critérios todas as combinações possíveis seriam 2^6 ou 64 combinações, considerando apenas o prazer ou a dor. Considerando o prazer e a dor serão 2^12 ou 4096 combinações. Destas combinações se pode concluir que:
Este modelo é utilizado para o cômputo do prazer ou dor resultante em um só indivíduo. Em se desejando calcular o prazer e a dor resultante para um conjunto de indivíduos, há que se introduzir o critério da extensão. Por exemplo: Num condomínio fechado de 50 moradores, supondo-se que para 25 pessoas o emprego de recursos na construção de uma piscina geraria mais prazer do que dor, para 20 pessoas isto seria indiferente e para 5 pessoas a dor (ou desprazer) seria maior que o prazer. Pelo critério de extensão eliminaríamos os indefinidos e diminuiríamos as 5 pessoas das 25, sobrando ainda 20 pessoas a favor. Isto é, a modelagem da decisão através da álgebra de Boole indicaria que a construção da piscina é um curso de ação preferível sobre o curso de ação alternativo, isto é, não construir a piscina.
Embora a modelagem das decisões através da álgebra de Boole seja somente aplicável a casos simples, parece razoável supor que ela permite construir uma visão clara de como podem ser tomadas as decisões em um grande número de casos em que o agente se vê envolvido em sua vida. Isto é, as situações que compoêm o cotidiano na vida das pessoas colocam-nas, de uma forma geral, face a decisões sobre cursos de ação concorrentes que podem ser modelados através de um sistema simples.
II. Modelo estático do cálculo da felicidade
O modelo booleano parece ser um instrumento interessante para avaliar decisões em casos mais simples, nos quais a decisão tem que ser tomada entre possíveis cursos de ação alternativos. No final do século XIX, F. Y. Edgeworth havia sugerido a possibilidade de cálculos matemáticos não-numéricos e colocara as bases de uma ciência chamada, então, hedometria. A hedometria seria a ciência do prazer. (EDGEWORTH, 1967, pp.98-102)
Bentham sugere que o cálculo da quantidade da felicidade, ou do sofrimento, produzido por uma ação (ou regra de conduta) é expresso no resultado da avaliação de sete variáveis: a) intensidade, que corresponde ao volume de emotividade implicado em um prazer ou dor; b) duração, que corresponde à extensão do tempo entre o início e o término de um prazer ou dor; c) certeza (ou incerteza) que corresponde ao grau de convicção que se pode ter que um certo prazer ou dor, de fato, serão resultantes de uma ação (ou regra de conduta); d) proximidade (ou longinquidade), que corresponde à duração do intervalo de tempo que decorre entre o prazer ou dor e a ação a que estão associados; e) fecundidade, que corresponde à medida da probabilidade que o prazer ou dor associados a uma ação têm de serem seguidos por sensações da mesma espécie (isto é, dor seguida de dor e prazer seguido de prazer); f) pureza, que corresponde à medida da probabilidade que prazer ou dor associados a uma ação têm de ser seguidos de sensações do tipo oposto (isto é, dor seguida de prazer e prazer seguida de dor); g) extensão, que corresponde ao número de indivíduos cujos prazer e dor são afetados pelos resultados de um determinado curso de ação (ou regra de conduta). (BENTHAM, 1970, p.23)
Com o objetivo de obter uma modelagem capaz de expressar a quantificação das variáveis relevantes para o cálculo do prazer e da dor, faz-se necessária a criação de uma unidade de medida que permita registrar suas variações. Aqui se sugere que essa unidade seja o 'benth'. 'benth' seria, então, a unidade convencional de variação de qualquer prazer ou dor. Assim, qualquer variação em qualquer uma das sete variáveis mencionadas, altera a expressão do valor do prazer ou da dor em termos de 'benth'. Conforme o princípio de utilidade, uma ação somente será considerada como moralmente aprovada se a medida de prazer dela resultante, medida em 'benth', for superior à medida da dor dela resultante, medida em 'benth'. Dessa forma:
PU = P - D [Benths]
i)Se o valor de PU>0, ou seja, se o valor é positivo, o (P)razer é maior do que a (D)or, então a ação é aprovada pelo princípio da utilidade.
ii)Se o valor de PU<0, ou seja, se o valor é negativo, o (P)razer é menor do que (D)or, então a ação é desaprovada pelo princípio da utilidade.
Isto parece significar que prazer e dor são diretamente proporcionais à sua intensidade(I):
Representando graficamente com os recursos da geometria cartesiana, tem-se que:
Acrescente-se, ainda, o critério de duração. A dor ou prazer são diretamente proporcionais a sua duração ou seja:
isto é, o Prazer é proporcional a sua Intensidade vezes sua duração.
Ora, Du = Tf - Ti , onde Tf é o tempo final e Ti é o tempo de início do prazer. Logo:
isto é, o Prazer é proporcional a sua Intensidade vezes o Tempo final menos o Tempo inicial.
Graficamente tem-se:
A fórmula anterior representa a área do retângulo do plano carteziano. Acrescente-se o critério da longinquidade. O prazer é inversamente proporcional à distância no tempo de sua realização, ou seja:
isto é, o Prazer é proporcional a sua Intensidade vezes o Tempo final menos o Tempo inicial e inversamente proporcional ao Tempo final.
Graficamente tem-se:
Isto implica a diminuição da altura do retângulo (I), ou seja, a diminuição de sua intensidade, até que sua base fique igual a Tf, mantendo sua área constante.
Quando Ti=0 temos que a Du=Tf, reduzindo a equação para:
que é a mesma coisa de
Para uma pessoa considerada em si mesma, Bentham propõe o seu último critério que é o da certeza (ou incerteza), ou seja, o prazer é diretamente proporcional à sua probabilidade de acontecer. A probabilidade(C) é um valor de 0 a 1 onde zero é a certeza absoluta da inexistência da dor ou prazer e 1 a certeza absoluta da existência do prazer ou da dor.
isto é, o Prazer é igual a sua Intensidade vezes o Tempo final menos o Tempo inicial e inversamente proporcional ao Tempo final vezes sua probabilidade.
A tendência que o ato tem de produzir prazer ou dor para um certo indivíduo será calculada em função da Fecundidade e da Pureza do ato. Assim, no gráfico:
Há que se considerar ainda o Tempo de Análise (Ta). O TA é o tempo em que se quer considerar a tendência de um ato de produzir prazer ou dor, ou seja, sua fecundidade e pureza. Ta geralmente é igual a Tuf (Tempo final da última dor ou prazer considerados).
Como a fecundidade e a impureza de um ato tendem ao infinito, Ta pode ser arbitrado. É possível, por exemplo, considerar a tendência de determinado ato ético, político ou administrativo durante 10 anos. Nesse caso, Ta=10 anos.
Em decisões pessoais podemos considerar o próprio tempo de vida média do ser humano, naquelas ações que são fecundas e impuras por tempo indeterminado.
A formulação matemática seria a seguinte:
onde:
C é a probabilidade do prazer acontecer;
Ta é o tempo de análise;
n é o número do prazer(fecundidade) ou dor(impureza) analisados;
u é o último prazer ou dor analisados;
In é a intesidade do prazer ou dor analisados;
Tnf é o tempo final do prazer ou dor analisados;
Tni é o tempo inicial do prazer ou dor analisados.
Assim, o prazer é igual à razão de sua certeza pelo tempo de análise, vezes a somatória de n igual ao primeiro prazer até n igual ao último prazer da Intensidade do prazer n, vezes tempo final de n menos tempo inicial de n.
Quando o prazer é negativo na fórmula, ele é na verdade uma dor.
Esta fórmula pode ter melhorada em sua precisão tomando em conta algo que Benthan não considerou em seus escritos, que cada dor ou prazer analisado, causado pela dor ou prazer inicial, tem sua própria probabilidade de acontecer ou não.
Assim a fórmula pode ser escrita na expressão:
isto é, o prazer é igual ao inverso do tempo de análise, vezes a somatória de n igual ao primeiro prazer até n igual a último prazer da Probabilidade do prazer n vezes a Intensidade do prazer n vezes tempo final de n menos tempo inicial de n.
Há que se aplicar ainda a este modelo o critério de extensão. Quando o ato ou decisão envolvem um grande número de pessoas devemos considerar este número. Uma forma simplificada de fazer isto seria multiplicar o resultado da equação acima pelo número (N) de pessoas envolvidas, mas como a felicidade é individual, Bentham sugere que se repita o procedimento para cada envolvido. Logo,
onde:
Pt é o Prazer total;
i é o indivíduo analisado;
N o número total de pessoas envolvidas;
Pi o prazer calculado na fórmula anterior do indivíduo analisado.
Posto que o modelamento do Prazer é o mesmo da Dor, a fórmula completa do princípio de utilidade seria:
onde:
Pu é o princípio da utilidade;
Ta é o tempo de análise;
i é o indivíduo analisado;
N é o número total de indivíduos analisados;
Cpi é a probabilidade do prazer acontecer para o indivíduo i;
Cdi é a probabilidade da dor acontecer para o indivíduo i;
n é o número do prazer(fecundidade) ou dor(impureza) analisado em cada indivíduo i;
u é o último prazer ou dor analisado em cada i;
Ipni(t) é o prazer analisado n referente ao prazer em cada indivíduo i;
Idni(t) é o prazer analisado n referente a dor em cada indivíduo i;
Tfni é o tempo final do prazer analisado n em cada indivíduo i;
Isto é, o prazer é igual a inverso do tempo de análise, vezes a somatória do indivíduo i=1 até i=N da Probabilidade do prazer do indivíduo i vezes a somatória n=1 até n=u da Intensidade do prazer do número n do indivíduo i vezes tempo final do número n do indivíduo i menos tempo inicial do número n do indivíduo i menos probabilidade da dor do indivíduo i vezes a somatória n=1 até n=u da Intensidade dor número n do indivíduo i vezes tempo final do número n do indivíduo i menos tempo inicial do número n do indivíduo i.
i)Se o valor de PU>0, ou seja, se o valor é positivo, o (P)razer seria maior do que a (D)or, então a ação seria aprovada pelo princípio da utilidade.
ii)Se o valor de PU<0, ou seja, se o valor é negativo, o (P)razer seria menor do que a (D)or, então a ação seria desaprovada pelo princípio da utilidade.
Uma grande vantagem do modelamento é que, ele permite identificar as operações necessárias para a determinação dos resultados das diferentes ações em termos de prazer e de dor. Esses cálculos possibilitam a escolha da decisão que resulta na maior felicidade dos envolvidos na ação.
III. Modelo Dinâmico do cálculo da felicidade
O modelo estático anteriormente apresentado parece compatível com a modelagem da quantificação da felicidade, ou cálculo felicífico sugerido por Bentham. A intensidade do prazer e da dor não parecem, contudo, susceptíveis apenas de modelagem expressa num valor estático. Algumas vezes o prazer e a dor se iniciam com uma intensidade e depois evoluem em direção a valores diferentes. O modelo dinâmico descrito a seguir é capaz de representar essas variações de intensidade da felicidade ou do sofrimento no tempo.
Na modelagem que segue se propõe a mudança do valor numérico da Intensidade da felicidade ou dor por uma função Intensidade de prazer ou dor: It=f(t), ou seja It é uma função no tempo. Seguem algumas funções matemáticas comuns:
Através das funções descritas é possível vislumbrar todo o poder e precisão de um modelamento dinâmico da teoria de Bentham. Neste modelo o valor de um ato em si seria:
isto é, o valor do prazer é igual à razão de sua certeza pelo tempo final vezes a integral do tempo inicial até o tempo final da função intensidade do prazer em relação ao tempo.
A tendência que o ato tem de produzir prazer ou dor para um certo indivíduo, ou seja, a Fecundidade e a Pureza do ato, é obtida pela soma da função secundária, ternária, n-função geradas pela função primaria:
isto é, o prazer é igual a razão de sua probabilidade pelo tempo de análise vezes a somatória de n=1 até n=último prazer da integral do tempo inicial do prazer n até tempo final da função prazer n em relação ao tempo.
Considerando várias pessoas envolvidas, tem-se a seguinte fórmula:
Finalmente considerando dor e prazer, chegaremos ao modelo mais genérico do princípio da utilidade de Bentham:
onde:
Pu é o princípio da utilidade;
Ta é o tempo de análise;
i é o indivíduo analisado;
N é o número total de indivíduos analisados;
Cpi é a probabilidade do prazer acontecer para o indivíduo i;
Cdi é a probabilidade da dor acontecer para o indivíduo i;
n é o número do prazer(fecundidade) ou dor(impureza) analisado em cada indivíduo i;
u é o último prazer ou dor analisado em cada i;
Ipni(t) é a função intesidade do prazer analisado n referente ao prazer em cada indivíduo i;
Idni(t) é a função intesidade do prazer analisado n referente a dor em cada indivíduo i;
Tfni é o tempo final do prazer analisado n em cada indivíduo i;
Tini é o tempo inicial do prazer analisado n em cada indivíduo i;
A fórmula indica que: o prazer é igual ao inverso do tempo de análise, vezes a somatória do indivíduo i=1 até i=N da Probabilidade do prazer do indivíduo i vezes a somatória n=1 até n=u da integral do tempo inicial do prazer n do indivíduo i até o tempo final do prazer n do indivíduo i da função Intensidade do prazer número n do indivíduo i em relação ao tempo menos a probabilidade da dor do indivíduo i vezes a somatória n=1 ate n=u da integral do tempo inicial da dor n do indivíduo i até o tempo final da dor n do indivíduo i da função Intensidade dor n do indivíduo i em relação ao tempo.
IV. A modelagem Da incerteza ou incerteza da dor e DO prazer
A modelagem da quantificação do prazer e da dor implica na possibilidade de determinação de sua certeza ou incerteza, isto é, a variabilidade da ocorrência ou não ocorrência do prazer e da dor, acarretando a determinação do valor da Certeza. A probabilidade estatística é o instrumento que permite tratar com eficiência tal situação.
Um estudo da teoria de probabilidade e estatística exigiria um estudo da teoria de conjuntos, das variáveis aleatórias, das distribuições contínuas e discretas, da esperança matemática etc. Dentre as distribuições pode-se considerar a de Bernoulli, Polinomial, Geométrica, Hipergeométrica, Pascal, Poison, Uniforme, Exponencial, Gaussiana, Gama, Qui-quadrada, T de student e de Fischer, dentre outras, que poderiam ser úteis na descrição da certeza ou incerteza da ocorrência de um prazer ou dor. Realizar esse estudo excederia aos objetivos deste trabalho. Fica em aberto a questão da modelagem matemática da probabilidade da ocorrência de uma dor ou de um prazer.
v. a quantificação do prazer e da dor NAS DECISÕES ENTRE OPÇÕES CONCORRENTES
Talvez a maior vantagem da modelagem matemática seja permitir que se contorne a dificuldade de ter-se um valor quantificado da felicidade, quando é necessário optar por cursos de ação concorrentes.
A modelagem parece se comportar de forma esclarecedora em certas situações problemáticas. Para demonstrar isto, talvez seja necessário construir algumas situações hipotéticas:
Num primeiro caso o curso de ação (A1) traz a felicidade x (x é indeterminado, por exemplo, suponha-se a felicidade advinda da posse da casa própria sonhada) imediatamente com 75% de certeza com duração indeterminada e sem sofrimento algum.
Num segundo caso, o curso de ação (A2) traz a felicidade x daqui a 5 anos com certeza absoluta e sem sofrimento algum e com duração indeterminada.
A questão consiste em decidir, escolhendo o curso de ação que seria mais compatível com o princípio de utilidade. O que se pretende argumentar aqui é que a modelagem matemática pode ajudar a tomada de decisão permitindo a utilização de critérios previamente estabelecidos.
Assim, considerando a vida humana na média de 70 e o indivíduo que se encontra na decisão com trinta, isto revela um Tf de 40 anos,
então, pela fórmula do ato em si:
para o curso de ação A1: P = x*0,75*40/40 =0.75x
e para o curso de ação A2: P = x*35/40 = 0.85x
O que isto revela é que, a aplicação do princípio de utilidade indica que a escolha do curso de ação correto aponta A2 como preferível sobre A1, pois a felicidade de 0,85x [Benths] é maior que 0,75x [Benths], mesmo sem ter identificado numericamente o valor felicífico de x.
Suponha-se, ainda, o exemplo anterior de tal forma que A2 apresente com certeza absoluta uma dor de x/100 durante os 5 anos devido a insatisfação e dificuldades acarretadas por não desfrutar da felicidade x neste período do tempo, então:
P = 0,85x - x*5/100 = 0,85x - 0,05x = 0,80x [Benths]
Ora, como 0,80x ainda é maior que 0,75x, A2 continua, ainda, a ser o melhor curso de ação, segundo o princípio da utilidade. NÃO SERIA O CASO DE COLOCAR MAIS EXEMPOS???
5. BIBLIOGRAFIA
ARMSTRONG, G.E.
"Utility and the theory of welfare"; Oxford Economic Papers 3, 1951.
BENTHAM, JEREMY
"An Introduction to the Principles of Morals and Legislation"; London, J.H. Burns & H.A. Hart, 9ed.,1970.
BROWN, P.M.
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Santo André,março de 2011.
[1]Agradeço ao Prof. Jomar Teodoro Gontijo, bacharel em Engenharia Eletrônica pela Escola de Engenharia de Santa Rita do Sapucaí e Especialista em Filosofia pela PUC-Campinas pela elaboração dos gráficos e descrição das fórmulas empregados na modelagem. Sem seu esforço seria impossível produzir este texto.
[2] A sugestão do nome ‘benth’ para a unidade de prazer e da dor deve-se ao fato de ter sido Bentham o autor da idéia que prazeres e dores podem ser contabilizados pela aritmética moral.
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